2016河南省考公务员行测：浅谈容斥原理在数学运算中的应用

华图教育     赵坤

容斥原理是2016河南公务员考试行测中的热点题型，主要测查报考者对集合交并补关系的把握与应用。容斥原理解题关键是如何排除重复计算的部分。

目前有两种方法解决容斥问题。其中，公式法适用于“条件与提问”都可以直接代入公式的题型，即标准型容斥问题可用公式法代入。画图法适用于“条件或者提问”不能完全使用公式代入的情形，利用文氏图求解。鉴于历年容斥题目难度的加深，传统的标准型已经考得太少，公式法已经不能完全满足此类题目的解决，本文着重讲解画图法解决容斥原理题目。

无论对于两集合还是三集合，画图法三步如下：

1.画图围绕关键字眼：“都”和“都不”。“都”证明几个集合有交集(两个圆交在一起)，“都不”证明集合外有其他元素，为了让元素可视，用框放在集合外面，圆外框里部分用来表示“都不”代表的元素。

2.标数 为了做到数据不重不漏，将数据按照由里向外或者由外向里标。

3.计算 根据总面积=各个部分面积之和，结合尾数法选答案。

【例1】有70名学生参加数学、语文考试，数学考试得60分以上的有56人，语文考试得60分以上的有62人，都不及格的有4人，则两门考试都得60分以上的有多少人?( )

A.50B.51

C.52D.53

【解析】两集合容斥问题。画图法三步走，步，画图，问题中出现了关键字眼“都”，题干中出现了关键字眼“都不”，画图如下：

第二步，标数，由里向外标。里面代表的是数学和语文都得60分以上的，让求，设x人。

第三步，计算。70=56+62-x+4,根据尾数法，选C。

【例2】某专业有学生50人，现开设有A、B、C，三门选修课。有40人选修A课程，36人选修B课程，30人选修C课程，兼选A、B两门课程的有28人，兼选A、C两门课程的有26人，兼选B、C两门课程的有24人，A、B、C三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人?( )

A.1人 B.2人

C.3人 D.4人

【解析】三集合容斥问题。画图法三步走，步，画图，问题中出现了关键字眼“均”，题干中出现了关键字眼“均未”，画图如下：

第二步，标数，由里向外标。求均未选的有多少人，则指的是圆外框里部分，设为x人。另外，注意将表示圆的数据标在线上。两两相交的部分用箭头指向框外。

第三步，计算。50=40+36+30-28-26-24+20+X,根据尾数法，选B。

三集合容斥问题一定要处理好三三相交的部分。如果题目中不是提到两两相交分别有多少，而直接给出满足两种的有多少，要注意，中间那一块就不再是加上一次，而是减去两次。

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