郑州事业单位考试职业能力测试辅导：数量关系之数字运算(2)

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　　第二节大公约数与小公倍数

　　大公约数：如果c是。的约数，c也是b的约数，那么我们称c是n和b的公约数。一般说来，两个数的公约数不止一个.我们把其中大的一个公约数.称为这两个数的大公约数。多个数之间的公约数和大公约数也可以用类似方法定义。

　　互质：如果两个数大公约数为1，则称这两个数互质。

　　小公倍数：如果c是a的倍数，c也是b的倍数，那么我们称c是a和b的公倍数。两个数的公倍数有很多，我们把其中小的一个公倍数，称为这两个数的小公倍数。多个数之间的公倍数和小公倍数也可以用类似的方法定义。

　　求大公约数与小公倍数主要有以下两种方法：分解质因数法、短除法。

　　一、分解质因数法

　　考生可采用分解质因数的方法求两个整数的大公约数与小公倍数，下面以两个数为例进行讲解.多个整数的情况可以类推。

　　分解质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数。

　　大公约数是两个数所有公有质因数的乘积。24、60的公有质因数是2、2、3.所以24和60的大公约数是2x2x3=12。

　　小公倍数是两个数所有公有质因数和其各自独有质因数的乘积。24、60的公有质因数是2、2、3，24的独有质因数是2，60的独有质因数是5，所以24、60的小公倍数是2×2×3×2×5=120。

　　二、短除法

　　短除符号就是除号倒过来，在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数，然后写下两个数被公有质因数整除的商，之后再除，以此类推，直到结果互质为止。

　　所以24、36的大公约数为2×2×3=12;(左侧3个数之积)

　　小公倍数为2×2×3×2×3=72。(左侧3个数与下边2个数之积)

　　三个数的情况与两个数的情况有所区别，要仔细体会。以下分别举例说明求12、30、150的大公约数与小公倍数.

　　第三节 奇偶性与质合性

　　在考试中.数的奇偶性与质合性都是在具体情境中结合其他知识要点一起考查的，很少作为独立的知识点来考核。

　　奇数：不能被2整除的整数;

　　偶数：能被2整除的整数，零也是偶数。奇偶性主要指以下这些性质：

　　①奇数+奇数=偶数，奇数-奇数=偶数②偶数十偶数=偶数，偶数-偶数=偶数③奇数+偶数=奇数，奇数--偶数=奇数④奇数×偶数=偶数

　　⑤奇数×奇数=奇数⑥偶数×偶数=偶数总之：加法/减法——同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇;

　　乘法——乘数有偶则为偶，乘数无偶则为奇。质数：只能被l和其本身整除的数。

　　17只能被1和17整除，则17是质数。

　　合数：除了1和其本身，还可以被其他整数整除的数。

　　6除了能被1和6整除以外，还能被2和3整除，则6是合数。质合性需要注意以下几点：

　　①1既不是质数也不是合数，2是的一个偶质数;②20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19。

　　【例题1】一次数学考试共有20道题，规定：答对一题得2分，答错一题扣1分，未答的题不计分。考试结束后，小明共得23分，他想知道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是个偶数。请你帮助小明计算一下,他答错了多少道题?

　　A.3　　B.4　　C.5　　D.6

　　解析：此题答案为A。小明的得分=2×答对题数一答错题数，因为2×答对题数肯定为偶数，得分为奇数.所以答错的题数为奇数，排除B、D。

　　假如答错3道题，则答对(23+3)÷2=13道题，未答的题是20-3-13=4道，符合条件，选择A。

　　假如答错5道题。则答对(23+5)÷2=14道题，未答的题是20-5-14=1道，与题干未答的题的数目是偶数矛盾，排除C。

　　【例题2】a,b、c都是质数，c是一位数，且axb+c=1993，那么a+b+c的值是多少?

　　A.171　　B.183　　C.184　　D.194

　　解析：此题答案为D。a×b+c=1993，1993为奇数，则a×b为奇数、c为偶数或a×b为偶数、c为奇数。

　　(1)a×b为奇数、c为偶数

　　由a、b,C都是质数，可知c=2，a×b=1991=11×181，a+b+c=2+11+181=194，选择D。(2)a×b为偶数、c为奇数

　　axb为偶数.则a、b中至少有一个偶数，由a、b、c都是质数，可知a.b中有一个为2，不妨设b=2，c是一位数.则。的值应该在900以上，与选项完全不符。

　　综上所述.叶a+b+c的值为194。

　　第四节同余与剩余

　　一、余数

　　在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数。被除数(b)÷除数(b)=商(c)……余数(d)，其中a、c均为整数，b、d为自然数。

　　其中。余数总是小于除数.即0≤d

　　二、同余

　　同余：两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a、b对于m同余。例：23除以5的余数是3，18除以5的余数也是3，则称23与18对于5同余。同余的性质：对于同一个除数m，两个数和的余数与余数的和同余，两个数差的余数与余数的差

　　同余，两个数积的余数与余数的积同余。

　　例：l5除以7余数是1.18除以7余数是4

　　15+18=33，则33除以7的余数与1+4：5除以7的余数相同18-15=3，则3除以7的余数与4-1=3除以7的余数相同15×18=270，则270除以7的余数与1x4=4除以7的余数相同

　　三、剩余问题

　　剩余问题主要有以下三种情况：

　　①一个数除以4余2、除以5余2、除以6余2，这个数可表示为……：

　　②一个数除以4余3、除以5余2、除以6余1，这个数可表示为……：

　　③一个数除以4余1、除以5余2、除以6余3，这个数可表示为……：

　　对于上述三种问题，解题思路是先找出一个满足条件的数，再加上几个除数的小公倍数的12、3、…、n倍，即为所求。

　　①中，余数相同，2满足条件，加上4、5、6的小公倍数，也满足条件，所以该数表示为60n+2：

　　②中，4+3=5+2=6+1=7，余数与除数之和相同，即和同。7满足条件，加上4、5、6的小公倍数.也满足条件，所以该数表示为60n+7：

　　③中，1-4=2-5=3-6=-3，余数与除数之差相同，即差同。-3满足条件，在此基础上加上4、5、6的是小公倍数，也满足条件，所以该数表示为60n-3。

　　所以有：余同加余，和同加和，差同减差。小公倍数做周期。

　　【例题1】16×41×164除以7的余数为(　　)。

　　A.1　　B.2　　C.3　　D.4

　　解析：此题答案为A。因为16+7=2……2，41+7=5……6，164+7：23……3.所以16×41×164除以7的余数与2×6×3除以7的余数相同。2×6×3÷7=36÷7,余数为1。

　　【例题21[事业单位考试考题)有一堆梨，两个两个拿后剩一个，三个三个拿后剩两个.四个四个拿后又多三个，问这堆梨至少有多少个?

　　A.10　　B.11　　C.12　　D.13

　　解析：此题答案为B。“差同减差”。由题意可知，梨的个数加1就能被2、3、4整除.则它的小值就是2、3、4的小公倍数减1。即12-1=11。

　　【例题3】一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有(　　)。A.5个B.6个C.7个D.8个

　　解析：此题答案为A。“除以5余2，除以4余3”，除数和余数相加(5+2和4+3)都为7，即和同加和.以小公倍数周期。则表示为 4x5n+7=20n+7，所以这个数除以20余7。再看另一条件“除9余7”。可见余数相同.再由“余同加余，小公倍数为周期”可得 20×9n+7=180n+7。凡为自然数，要使7+180n为三位数，则n=1、2、3、4、5，满足条件的三位数有5个。

　　点拨

　　本题较为简单，可直接看后两个条件，很容易看出7是满足条件的小的自然数，而7正好也满足个条件。4、5、9的小公倍数为180，因此满足条件的三位数形式为7+180n。

　　第五节尾数法

　　尾数是一个数的个位数字，也就是该数除以10的余数.尾数法本质上是利用同余的性质：两个数的尾数之和等于和的尾数，两个数的尾数之差等于差的尾数，两个数的尾数之积等于积的尾数。

　　一、尾数法

　　尾数法是指在不直接计算算式各项值的情况下。只计算结果的尾数，以在选项中确定答案的方法。一般四个选项中数的尾数各不相同时，可优先考虑尾数法。算式中如果出现了除法，尽量不要使用尾数法。

　　二、自然数的n次方的尾数变化规律

　　尾数法通常与自然数的n次方结合使用.一个自然数n次方尾数等于它尾数n次方的尾数，因此我们只需要考虑0～9的n次方尾数变化规律即可。

　　0～9的以次方尾数变化规律：

　　0、1、5、6的n次方尾数始终是其本身

　　2n的尾数以“2、4、8、6”循环变化，循环周期为4

　　3n的尾数以“3、9、7、1”循环变化，循环周期为4

　　4n的尾数以“4、6”循环变化，循环周期为2

　　7n的尾数以“7、9、3、1”循环变化，循环周期为4

　　8n的尾数以“8、4、2、6”循环变化，循环周期为4

　　9n的尾数以“9、1”循环变化。循环周期为2

　　因此判断n次方的尾数时，用n÷4，余数为a，则n次方的尾数与a次方的尾数相同(余数为0时，与4次方的尾数相同)。例如721,21+4，余数为1，则721的尾数与71的尾数相同，为7。

　　【例题1】72010+82012的个位数是几?

　　A.3　　B.5　　C.7　　D.9

　　解析：此题答案为B。7的n次方尾数变化为7、9、3、1，变化周期为4，2010除以4余2，所以72010的尾数是9：8的n次方尾数变化为8、4、2、6，变化周期为4，2012能被4整除，所以82012的尾数是6。9+6=15.尾数为5.选B。

　　【例题2】2362+768-1482的值为(　　)。

　　A.33462　　B.33568　　C.34560　　D.34664

　　解析：此题答案为C。直接计算，计算量较大。由于选项中各项尾数均不相同。可以采用尾数法。2362的尾数为6，1482的尾数为4，6+8-4=10，所以结果的尾数为0。选择C。

　　【例题3】8，88，888，8888，……，如果把前88个数相加，那么它们的和的末三位数是多少?

　　A.574　　B.484　　C.464　　D.454

　　解析：此题答案为C。题目中问末三位数是多少，并且发现各个选项的末两位都不同.只要运用尾数法对末两位进行运算即可。8+88x87=7664，末两位数为64.所以选C。

　　点拨

　　每个数都是8的倍数，则所有数字的和能被8整除,则它们的和的末三位数能被8整除。选项中只有464满足，答案为C。

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